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【新智元导读】数学通才猛犸模型给开源语言模型带来了推理春天，面对GPT-4都有一战之力!

数学推理问题是语言模型绕不过的痛点，在各种黑科技的加持下，开源模型的推理性能依然不够看。

最近，滑铁卢大学、俄亥俄州立大学、香港科技大学、爱丁堡大学的研究人员联合开源了一个专为通用数学问题定制的大模型MAmmoTH和一个指令调优数据集MathInstruct.

论文链接:https://arxiv.org/pdf/2309.05653.pdf

项目链接:https://tiger-ai-lab.github.io/MAmmoTH/

MathInstruct由13个具有中间原理的数学数据集编译而成，其中6个为新数据集，混合了思想链（CoT）和思想程序(PoT)，并确保覆盖了广泛的数学领域。

CoT和PoT的混合不仅可以释放工具使用的潜力，而且还允许模型针对不同的数学问题进行不同的思维过程。

因此，MAmmoTH系列在所有尺度上的9个数学推理数据集上的表现大大优于现有的开源模型，平均准确率提高了12%至29%。

其中MAmmoTH-7B模型在MATH（竞赛级数据集）上的准确率达到了35%，超过了最好的开源7B模型(WizardMath)25%，MAmmoTH-34B模型在MATH上的准确率达到了46%，甚至超过了GPT-4的CoT结果。

数学推理领域新王:MAmmoTH

在数学推理任务上，开源和闭源的大型语言模型（LLM）之间存在巨大的性能差距，目前基准数据集上的sota仍然是GPT-4，PaLM-2和Claude等闭源模型，其他开源模型如Llama，Falcon和OPT等仍然远远落后。

为了弥补性能差距，主要的研究方法有两类:

1. 如Galactica，MINERVA等模型，继续使用数学相关的网络数据对语言模型进行训练，可以提高模型的通用科学推理能力，但计算成本会更高;

2. 如拒绝采样微调（RFT）和WizardMath等，使用特定领域数据集对模型进行微调，虽然可以提高领域内性能，但无法适用于更广泛的数学推理任务。

在解决数学问题时，现有方法通常会采用思维链（CoT）方法引导语言模型循序渐进地用自然语言描述来解决数学问题。

虽然在大多数数学主题下表现出很好的通用性，但在需要精确或复杂的数学计算、算法推理的问题下（如求解二次方程根，计算矩阵特征值）表现不佳。

相比之下，思维程序（PoT， Program-of-Thought）方法和PAL利用外部工具(即Python解释器)大大简化了数学求解过程，将计算过程卸载到外部Python解释器，以解决复杂的数学和算法推理过程(例如，用sympy求解二次方程或用numpy计算矩阵特征值)。

然而，PoT在处理更抽象的推理场景方面有所欠缺，尤其是在没有内置API的情况下，常识推理、形式逻辑和抽象代数的推理能力会更差。

方法概述

研究人员的目标是编制一个高质量、多样化的数学指令调整（instruction-tuning）数据集列表。

1. 覆盖不同数学领域和复杂度

更全面的数据集可以让模型接触到多样化的数学知识，提升模型的多功能性。

研究人员将选择范围缩小到几个被广泛采用的高质量数据集，包括GSM8K、math、AQuA、Camel和TheoremQA.

还可以注意到，现有的数据集缺乏对大学水平的数学知识的覆盖，如抽象代数和形式逻辑，所以研究人员选择使用GPT-4来合成TheoremQA问题中的思维链（CoT）原理，利用网络上找到的数个种子样例，通过自我指导(self-instruct)创建问题和CoT的数据对。

2. 混合CoT和PoT

现有的研究方法大多只关注CoT，并且数据集中也只包含有限的解题思路，导致CoT和PoT的数据量十分不均衡。

为了解决该问题，研究人员利用GPT-4来补充选定数据集的PoT解题思路，通过对比合成程序的执行结果以及人工标注的答案进行过滤，确保生成数据的高质量。

遵循上述方法，最后得到了26万条指令、回复数据对，涵盖了广泛的核心数学领域，如算术、代数、概率、微积分和几何等，混合了CoT和PoT基本原理，并提供多种语言、多个难度级别的数据，足以证明数据集的高品质和独特性。

训练步骤

研究人员统一了MathInstruct中的所有子集，将指令数据集的结构标准化为Alpaca模型的格式，使得模型无需考虑原始数据集的格式，在微调阶段统一处理数据即可。

研究人员选择开源模型Llama-2和Code Llama作为基础模型，在7B、13B、34B和70B尺寸的模型上进行微调。

实验部分

评估数据集

研究人员选择了不同数学领域下的样本，对模型的通用数学推理能力进行评估:

领域内数据集包括GSM8K，MATH，AQuA-RAT，NumGLUE;领域外数据集包括SVAMP，Mathematics，SimulEq，SAT-Math和SimulEq，涵盖了小学、高中和大学水平的数学问题，部分数据集甚至包括形式逻辑和常识推理。

问题类型为开放式问题和多选题，其中开放式问题（如GSM8K、数学）采用PoT解码，因为大多数问题都可以由程序解决;多项选择题(如AQuA、MMLU)采用CoT解码。

CoT解码不需要触发词，PoT需要触发短语让我们写个程序来解决这个问题（Let’s write a program to solve the problem）。

实验结果

总的来说，MAmmoTH和MAmmoTH-Coder在不同的模型尺寸上均优于SoTA模型，并且在领域外（OOD）数据集上的增益要显著优于领域内(IND)数据集，展现出了该模型作为数学通才模型的潜力，甚至在几个数据集上，MAmmoTH-Coder-34B和MAmmoTH-70B甚至超过了闭源模型。

在领域内数据的评估，MAmmoTH模型的主要竞争对手是WizardMath和Platypus，其中WizardMath的训练深度依赖于GSM8K和MATH数据集，Platypus在更广泛的文本和数学推理数据集上对LLM进行微调。

相比之下，MAmmoTH实现了全面的改进，并且更擅长解决复杂数学问题，相比WizardMath（MATH数据的sota）的增益最高超过了25%

在领域外数据评估中，主要竞争模型依然是Platypus，不过MAmmoTH可以实现比领域内数据更高的性能提升，展现出对未知数学问题的通用能力。

值得注意的是，MAmmoTH-7B还将WizardMath-7B在MMLU-Math上的CoT性能大幅提高了9%，其中包含大量没有在训练数据集中涵盖的主题。

不同基础模型之间的对比

可以发现，Code-Llama作为基础模型时的效果始终优于Llama-2，尤其是在领域外数据集上，二者之间的性能差异甚至达到了5%，其中MAmmoTH-Coder（34B）在领域外数据集上的平均性能实际上高于MAmmoTH(70B)

研究人员认为，MAmmoTH-Coder从Code-Llama的持续代码训练中受益匪浅，不仅增强了PoT能力，还提高了Llama的通用推理技能。

参考资料:

https://tiger-ai-lab.github.io/MAmmoTH/